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Anleitung

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Lesen Sie im Lehrbuch über höhere Mathematik, dassist der Gradient des Skalarfeldes. Wie bekannt ist, hat diese Vektorgröße eine Richtung, die durch die maximale Änderungsrate der Skalarfunktion gekennzeichnet ist. Dieser Sinn einer gegebenen Vektorgröße wird durch einen Ausdruck zur Bestimmung seiner Komponenten gerechtfertigt.

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Denken Sie daran, dass jeder Vektor durch die Mengen bestimmt wirdseine Komponente. Die Komponenten des Vektors sind tatsächlich Projektionen dieses Vektors auf die eine oder andere Koordinatenachse. Wenn also ein dreidimensionaler Raum betrachtet wird, muss der Vektor drei Komponenten haben.

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Schreibe auf, wie die Komponenten des Vektors bestimmt werden,Das ist der Gradient eines Feldes. Jede der Koordinaten eines solchen Vektors ist gleich der Ableitung des Skalarpotentials in Bezug auf eine Variable, deren Koordinate berechnet wird. Das heißt, falls es notwendig ist, die "Ix" -Komponente des Feldgradientenvektors zu berechnen, ist es notwendig, die Skalarfunktion in der Variablen "x" zu differenzieren. Beachten Sie, dass die Ableitung privat sein muss. Dies bedeutet, dass bei der Differenzierung die verbleibenden Variablen, die nicht daran teilnehmen, als Konstanten betrachtet werden müssen.

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Schreibe einen Ausdruck für das Skalarfeld. Wie Sie wissen, impliziert dieser Begriff nur eine skalare Funktion von mehreren Variablen, die ebenfalls skalare Größen sind. Die Anzahl der Variablen einer Skalarfunktion ist durch die Dimension des Raums begrenzt.

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Unterscheiden Sie die separat skalare Funktion durchjede Variable. Als Ergebnis erhalten Sie drei neue Funktionen. Schreiben Sie jede Funktion in den Ausdruck für den Gradientenvektor des Skalarfeldes. Jede der erhaltenen Funktionen ist tatsächlich ein Koeffizient für den Einheitsvektor einer gegebenen Koordinate. Somit sollte der endgültige Gradientenvektor wie ein Polynom mit Koeffizienten in Form von abgeleiteten Funktionen aussehen.

Du brauchst

• - Boom;
• - Griff.

Anleitung

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Die Funktion sei durch drei Argumente gegeben: u = f (x,y, z). Die partielle Ableitung einer Funktion, z. B. in Bezug auf x, ist als die Ableitung in Bezug auf dieses Argument definiert, die mit den verbleibenden Argumenten erhalten wird. Für den Rest der Argumente ist ähnlich. Die Notation der partiellen Ableitung ist in folgender Form geschrieben: df / dx = u'x ...

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Die Gesamtdifferenz ist gleich du = (df / dx) dx +(df ​​/ dy) dy + (df / dz) dz. Teilableitungen können als Ableitungen in den Richtungen der Koordinatenachsen verstanden werden. Daher stellt sich die Frage, die Ableitung in Bezug auf die Richtung des gegebenen Vektors s am Punkt M (x, y, z) zu finden (nicht vergessen, dass die Richtung s den Einheitsvektor-Einheitsvektor s ^ o angibt). In diesem Fall ist das Vektordifferential der Argumente {dx, dy, dz} = {dscos (alpha), dsos (beta), dsos (gamma)}.

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Berücksichtigt man die Form des Gesamtdifferentials du,schließen, dass die Ableitung der Richtungs Niju s am Punkt M ist gleich: (du / ds) | M = ((df / dx) | M) cos (alpha) + ((df / dy) | M) cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gamma) .Wenn s = s (Sx, Sy, Sz), dann werden die Richtungskosinus {cos (alpha), cos (beta) cos (gamma)} berechnet werden (vgl. 1a).

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Die Definition einer Ableitung in Bezug auf eine Richtung, vorausgesetztPunkt M der Variablen kann als das Skalarprodukt neu geschrieben werden: (du / dS) = ({df / dx, df / dy, df / dz}, {cos (alpha), cos (beta) cos (gamma)}) = (grad u, s ^ ​​o). Dieser Ausdruck gilt für das skalare Feld. Wenn man bedenkt, eine Funktion-tion, die gradf - ein Vektor mit den Koordinaten zusammenfällt, teilweise f (x, y, z) .gradf (x, y, z) = {{df / dx, df / dy, df / = dz}) = (df / dx) + i (df / dy) j + (df / dz) k. Hierbei (i, j, k) - Vektoren der rechtwinkligen Koordinatenachsen in einem kartesischen Koordinatensystem.

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Wenn Sie Differential verwendenVektor-Hamiltonoperator, dann kann gradf als die Multiplikation dieses Operatorvektors mit dem Skalar f geschrieben werden (siehe Fig. 1b). Vom Standpunkt der Verbindung gradf c in bezug auf die Richtung ist die Gleichheit (gradf, s ^ ​​o) = 0 möglich, wenn diese Vektoren orthogonal sind. Daher wird gradf oft als die Richtung der schnellsten Änderung im Skalarfeld definiert. Und unter dem Gesichtspunkt der Differentialoperationen (gradf ist einer von ihnen) wiederholen die Eigenschaften von gradf genau die Eigenschaften der Differenzierung von Funktionen. Insbesondere wenn f = uv, dann ist gradf = (vgradu + u gradv).

Du brauchst

• Computer, Grafik-Editor Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net oder andere.

Anleitung

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Öffnen Sie ein Bild im Programm oder erstellen Sie ein neues Bild. Erstellen Sie einen Pfad oder wählen Sie den gewünschten Bereich im Bild aus.

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Aktivieren Sie das Verlaufswerkzeug in der SymbolleisteWerkzeuge des Grafikeditors. Platzieren Sie den Mauszeiger auf den Punkt innerhalb des ausgewählten Bereichs oder Umrisses, in dem die erste Farbe des Verlaufs beginnen soll. Halten Sie die linke Maustaste gedrückt. Bewegen Sie den Cursor an die Stelle, an der der Farbverlauf zur letzten Farbe wechselt. Lassen Sie die linke Maustaste los. Der ausgewählte Pfad füllt die Füllung mit einem Farbverlauf.

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FarbverlaufSie können Transparenz, Farben und ihredas Verhältnis an einem bestimmten Punkt des Gießens. Öffnen Sie dazu das Fenster zum Bearbeiten des Verlaufs. Um das Bearbeitungsfenster in Photoshop zu öffnen, klicken Sie auf das Verlaufsmuster im Bereich "Optionen".

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Im geöffneten Fenster werden in Form von Beispielen die verfügbaren Optionen für die Farbverlaufsfüllung angezeigt. Um eine der Optionen zu bearbeiten, wählen Sie sie mit einem Mausklick aus.

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Ein Beispiel wird am unteren Rand des Fensters angezeigtGradient als breite Skala, auf der die Gleitstücke. Sliders bezeichnet Punkte, an denen die Gradient muß vorbestimmte Eigenschaften hat, und zwischen den Schiebern Farbe bewegt sich gleichmäßig von einem vorher bestimmten Punkt in der ersten Farbe zu dem zweiten Punkt.

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Schieberegler, die sich an der Spitze befindenSkalen legen die Transparenz des Verlaufs fest. Um die Transparenz zu ändern, klicken Sie auf den gewünschten Schieberegler. Unter der Skala erscheint ein Feld, in dem Sie den gewünschten Transparenzgrad in Prozent eingeben.

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Die Schieberegler am unteren Rand der Skala geben Farbverlaufsfarben an. Wenn Sie auf einen von ihnen klicken, können Sie die gewünschte Farbe auswählen.

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Farbverlauf kann mehrere Übergangsfarben haben. Um eine andere Farbe anzugeben, klicken Sie auf den freien Bereich unten auf der Skala. Es wird einen weiteren Schieberegler darauf geben. Geben Sie die gewünschte Farbe dafür an. Die Skala zeigt eine Gradientenprobe mit einem weiteren Punkt an. Sie können die Schieberegler bewegen, indem Sie sie mit der linken Maustaste gedrückt halten, um die gewünschte Kombination zu erreichen.

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FarbverlaufEs gibt mehrere Arten, die geben könnenflache Konturen formen. Um beispielsweise einem Kreis die Form einer Kugel zu geben, wird ein radialer Gradient verwendet, und um eine Kegelform zu erhalten, ist sie konisch. Um der Oberfläche die Illusion der Konvexität zu verleihen, können Sie einen Spiegelverlauf verwenden, und ein rautenförmiger Verlauf kann zum Erstellen von Glanzlichtern verwendet werden.