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Anleitung

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Angenommen, wir haben eine Zahl a, deren Grad die Zahl n ist. Um eine Zahl zu einer Potenz zu erheben, muss man die Zahl a für sich n mal multiplizieren.

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Betrachten wir einige Beispiele: Um die Zahl 2 auf die zweite Potenz zu erhöhen, ist es notwendig, die Aktion auszuführen: 2x2 = 4

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Um die Zahl 3 zur fünften Macht zu erheben, ist es notwendig, die Handlung auszuführen: 3х3х3х3х3 = 243

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Es gibt eine allgemein akzeptierte Bezeichnung für die zweite und dritte Potenz von Zahlen. Der Ausdruck "zweiter Grad" wird üblicherweise durch das Wort "Quadrat" ersetzt, und anstelle des Ausdrucks "dritter Grad" wird üblicherweise "Würfel" verwendet.

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Wie aus den obigen Beispielen ersichtlich ist,Die Dauer und der Aufwand der Berechnungen hängt vom Wert des Exponenten der Zahl ab. Sich in ein Quadrat oder einen Würfel zu verwandeln, ist eine ziemlich einfache Aufgabe; die Errichtung einer Zahl von einem fünften oder mehr Grad erfordert bereits mehr Zeit und Genauigkeit in den Berechnungen. Um diesen Prozess zu beschleunigen und Fehler zu vermeiden, können Sie spezielle mathematische Tabellen oder einen technischen Rechner verwenden.

Du brauchst

• Papier, Stift.

Anleitung

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In einer allgemeinen Art und Weise Klasse wird als a ^ n geschrieben. Dieser Eintrag bedeutet, dass die Zahl a n mal mit sich selbst multipliziert wird und der Ausdruck a ^ n aufgerufen wird Klassey, a ist die Zahl, die Basis des Grades, n ist die Zahl, der Exponent. Zum Beispiel a = 4, n = 5, dann schreibe 4 ^ 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024

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Der Grad von n kann eine negative Zahl sein n = -1, -2, -3 usw. Um das Negative zu berechnen Klasse Zahl, muss im Nenner weggelassen werden.a ^ (- n) = (1 / a) ^ n = 1 / a * 1 / a * 1 / a * ... * 1 / a = 1 / (a ​​^ n) (3) = (1/2) ^ 3 = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1 / (2 ^ 3) = 1/8 = 0,125

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Wie aus dem Beispiel ersichtlich, -3 Klasse ab Nummer 2 kann auf verschiedene Arten berechnet werden 1) Berechnen Sie zuerst den Bruch 1/2 = 0.5; und dann aufrichten Klasse 3, d.h. 0,5 ^ 3 = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,1252) Zuerst der Nenner in Klasse 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 = 8 und berechne dann den Bruch 1/8 = 0,125.

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Jetzt berechnen wir -1 Klasse für eine Anzahl, i.e. n = -1. Die oben betrachteten Regeln sind für diesen Fall geeignet: A ^ (- 1) = (1 / a) ^ 1 = 1 / (a ​​^ 1) = 1 / aZum Beispiel, erhöhen wir die Zahl 5 auf -1 Klasse5 ^ (- 1) = (1/5) ^ 1 = 1 / (5 ^ 1) = 1/5 = 0,2.

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Aus dem Beispiel ist deutlich ersichtlich, dass die Zahl in -1 Grad liegtIst der reziproke Wert der Zahl, so stellen wir die Zahl 5 in der Form eines Bruches 5/1 dar, dann kann 5 ^ (-1) nicht arithmetisch betrachtet werden, sondern man schreibt sofort einen Bruch invers zu 5/1, das ist 1 / 5.Tak, 15 ^ (- 1) = 1 / 15,6 ^ (- 1) = 1 / 6,25 ^ (-1) = 1/25

Du brauchst

• Rechner, Computer, Excel-Anwendung.

Anleitung

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Um eine Dezimalzahl zu erstellen Bruch in der Platznimm einen technischen Taschenrechner, tippe darauf Platz Bruch und klicke auf den Erektionsschlüssel für die zweite Kraft. Bei den meisten Taschenrechnern wird diese Taste als "x²" bezeichnet. Auf dem Standard-Windows-Rechner funktioniert die Funktion Platz sieht wie "x ^ 2" aus. Zum Beispiel Platz Der Dezimalbruch von 3,14 entspricht: 3,14? = 9,8596.

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Einbauen Platz dezimal Bruch Auf einem gewöhnlichen (Buchungs-) Taschenrechner multiplizieren Sie diese Zahl mit sich selbst. Übrigens ist es in einigen Taschenrechnermodellen möglich, die Zahl zu erhöhen Platz auch wenn es keinen speziellen Knopf gibt. Lesen Sie deshalb zuerst die Bedienungsanleitung für einen bestimmten Taschenrechner. Manchmal sind Beispiele für "gerissene" Exponentiation auf der Rückseite oder auf der Rechnerbox zu sehen. Zum Beispiel auf vielen Rechnern für den Aufbau einer Zahl in Platz Drücken Sie einfach die Tasten "x" und "=".

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Für die Errichtung in Platz gewöhnlicher Bruch (bestehend aus einem Zähler und einem Nenner), aufrecht in Platz getrennt Zähler und Nenner dieses Bruchteils. Das heißt, verwende die folgende Regel: (h / √) ² = ч² / ²², wobei ч - der Zähler des Bruches, з - Nenner des Bruches ist Beispiel: (3/4) ² = 3² / 4² = 9/16.

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Wenn die Platz Bruch - gemischt (besteht aus dem ganzen Teil undvulgär-Fraktion), bringt die vorge es den gewöhnlichen Sinn. Das heißt, es gilt die folgende Formel: (n c / o) ² = ((n * h + h) / h) ² = (s + n * h) ² / Z² wobei n - der ganzzahlige Teil des gemischten drobi.Primer: (3 2/5) ² = ((5 * 3 + 2) / 5) ² = (3 * 5 + 2) ² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

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Wenn du einbaust Platz gewöhnliche (nicht dezimale) Brüche habenständig, das MS Excel-Programm. Für diese Art in einer der Zellen der Tabelle die folgende Formel: LEVEL = (A2; 2), worin A2 - Zellenadresse, die innerhalb verabreicht ausgebildet ist Platz Bruch. Um das Programm zu informieren, dass die eingegebene Nummer als normal behandelt werden soll Bruch(d. h. nicht in Dezimalzahlen umwandeln), geben Sie Bruchdie Ziffer "0" und das Zeichen "Leerzeichen". Um beispielsweise einen Bruchteil von 2/3 einzugeben, geben Sie "0 2/3" ein (und drücken Sie die Eingabetaste). In diesem Fall wird die Dezimaldarstellung des eingegebenen Bruchteils in der Eingabezeile angezeigt. Die Bedeutung und Darstellung der Fraktion direkt in der Zelle wird in der ursprünglichen Form erhalten. Wenn mathematische Funktionen verwendet werden, deren Argumente gewöhnliche Brüche sind, wird das Ergebnis auch in der Form eines gewöhnlichen Bruches dargestellt. Daher Platz Der Bruch 2/3 wird als 4/9 dargestellt.

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Die Methode zur Trennung des vollständigen Quadrats eines Binoms basiert aufüber die Verwendung von zwei Formeln für die verkürzte Multiplikation von Polynomen. Diese Formeln sind Spezialfälle des Newtonschen Binoms für den zweiten Grad und erlauben uns, den gewünschten Ausdruck zu vereinfachen, so dass wir eine nachfolgende Reduktion oder Faktorisierung durchführen können: (m + n) ² = m² + 2 · m · n + n²; ² = m² - 2 · m · n + n².

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Nach dieser Methode, aus dem ursprünglichen PolynomEs ist erforderlich, die Quadrate zweier Monome und die Summe / Differenz ihres Doppelprodukts zu isolieren. Die Anwendung dieser Methode ist sinnvoll, wenn die höchste Potenz der Summanden mindestens 2 beträgt. Nehmen wir an, wir haben die Aufgabe, den folgenden Ausdruck mit abnehmender Potenz auszurechnen: 4 · y ^ 4 + z ^ 4

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Um das Problem zu lösen, muss man die Methode verwendendie Auswahl eines kompletten Quadrats. Der Ausdruck besteht also aus zwei Monomen mit Variablen gleichen Grades. Daher können wir jedes von ihnen in Bezug auf m und n bezeichnen: m = 2 · y²; n = z².

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Jetzt müssen wir den ursprünglichen Ausdruck zum Formular bringen(m + n) ². Es enthält bereits die Quadrate dieser Begriffe, aber es gibt nicht genug doppelte Arbeit. Sie müssen sie künstlich hinzuzufügen, und dann abziehen: (2 · y²) ² + 2 · 2 · y² · Z² + (Z²) ² - 2 · 2 · y² · Z² = (2 · y² + Z²) ² - 4 · y² · z².

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In der erhaltene Expressions Formel Quadraten Unterschied gesehen werden kann (2 · Y² + Z²) ² - (2 · y · z) ² = (2 · y² + z² - 2 · y · z) · (2 ​​· Y² + Z² + 2 · y · z).

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Die Methode besteht also aus zwei Phasen: Trennen der Monome des gesamten Quadrates m und n, Addition und Subtraktion ihres Doppelprodukts. Die Methode, das ganze Quadrat eines Binoms zu trennen, kann nicht nur unabhängig, sondern auch in Kombination mit anderen Methoden angewendet werden: die Entfernung des gemeinsamen Multiplikators aus Klammern, der Ersatz einer Variablen, die Gruppierung von Termen,

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Beispiel 2. Wählen Sie das vollständige Quadrat in dem Ausdruck: 4 · y² + 2 · y · z + z² Die Lösung 4 · y² + 2 · y z + z² = [m = 2 · y, n = z] y) ² + 2 · 2 · y · z + (z) ² - 2 · y · z = (2 · y + z) ² - 2 · y · z.

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Die Methode wird verwendet, um die Wurzeln zu findenquadratische Gleichung. Die linke Seite der Gleichung ist ein Trinom der Form a · y² + b · y + c, wobei a, b und c einige Zahlen sind und a ≠ 0. a · y² + b · y + c = a · (y² + b / a) · y) + c = a · (y2 + 2 · (b / (2 · a)) · y) + c = a · (y2 + 2 · (b / (2 · a)) · y + b² / (4 · a²)) + c - b² / (4 · a) = a · (y + b / (2 · a)) ² - (b² - 4 · a · c) / (4 · a) ..

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Diese Berechnungen führen zu der Vorstellung einer Diskriminante, die (b² - 4 · a · c) / (4 · a) ist, und die Wurzeln der Gleichung sind: y_1,2 = ± (b / (2 · a)) ± √ ((b² - 4 · a · c) / (4 · a)).

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Verwenden Sie beim Anheben auf eine KraftEine negative Zahl ist die übliche Regel für diese Operation. Wie für positive Zahlen bedeutet das Anheben an die Potenz das Multiplizieren des ursprünglichen Werts mit sich selbst mehrmals, eins weniger als der Exponent. Um zum Beispiel die vierte Potenz von -2 zu erhöhen, muss sie mit dem Dreifachen multipliziert werden: -2⁴ = -2 * (-2) * (-2) * (-2) = 16.

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Multiplikation von zwei negativen Zahlen gibt immerein positiver Wert, und das Ergebnis dieser Operation für Mengen mit unterschiedlichen Vorzeichen wird die Zahl negativ sein. Daraus kann geschlossen werden, dass bei der Konstruktion negativer Werte in einer Potenz mit einem geraden Exponenten immer eine positive Zahl erhalten werden muss und bei ungeraden Exponenten das Ergebnis immer kleiner als Null ist. Verwenden Sie diese Eigenschaft, um die durchgeführten Berechnungen zu überprüfen. Zum Beispiel, -2 in der fünften Grad sollte eine negative Zahl -2⁵ = -2 * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = -32, und -2 in der sechsten - positive -2⁶ = -2 * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 64.

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Wenn eine negative Zahl erhöht wirdDer Indikator kann im Format eines normalen Bruchteils angegeben werden, z. B. -64 mit der Potenz von ⅔. Ein solcher Indikator bedeutet, dass der Anfangswert auf eine Potenz erhöht werden sollte, die gleich dem Zähler der Fraktion ist, und daraus eine Wurzel des Grades, der gleich dem Nenner ist, zu extrahieren. Ein Teil dieser Operation wird in den vorherigen Schritten berücksichtigt, aber hier sollten Sie auf die anderen achten.

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Root-Extraktion ist eine ungerade Funktion, das heißt fürnegative reelle Zahlen, kann nur für einen ungeraden Exponenten verwendet werden. Denn auch diese Funktion spielt keine Rolle. Wenn es in den Bedingungen des Problems erforderlich ist, eine negative Zahl auf eine Bruchzahl mit einem geraden Nenner zu erhöhen, dann hat das Problem keine Lösung. In den verbleibenden Fällen führen Sie zuerst die Operationen aus den ersten beiden Schritten aus, verwenden Sie den Zähler des Bruches als Exponent und extrahieren Sie dann die Wurzel mit dem Nenner.

Du brauchst

• Internetzugang oder Windows-Rechner.

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Für die Errichtung Platzaber in Klasse Verwenden Sie die allgemeine Erektionsregel in Klasse eine Zahl, die bereits einen Exponenten hat.Mit dieser Operation multiplizieren sich die Indikatoren und die Basis bleibt gleich. Wenn die Basis als x bezeichnet wird und die ursprünglichen und zusätzlichen Exponenten a und b sind, kann diese Regel wie folgt in allgemeiner Form geschrieben werden: (xᵃ) ᵇ = xᵃᵇ.

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Für praktische Berechnungen ist es am einfachsten, die Google-Suchmaschine zu verwenden - es hat einen sehr einfach zu bedienenden Rechner. Zum Beispiel, wenn Sie einen fünften bauen wollen Klasse Platz Nummer 6, gehen Sie auf die Hauptseite der Suchmaschine und geben Sie die entsprechende Abfrage ein. Es kann wie folgt formuliert werden: (6 ^ 2) ^ 5 - hier bezeichnet das Symbol ^ Klasse. Und Sie können sich selbst berechnender resultierende Exponent gemäß der Formel aus dem vorherigen Schritt und formulieren die Abfrage wie folgt: 6 ^ 10. Oder Sie können Google vertrauen, indem Sie die folgende Abfrage eingeben: 6 ^ (2 * 5). Für jede dieser Optionen gibt der Suchmaschinenrechner dieselbe Antwort zurück: 60 466 176.

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Bei fehlendem Zugang zum Internet ein ComputerGoogle kann beispielsweise durch einen eingebauten Windows-Rechner ersetzt werden. Wenn Sie Seven oder Vista Versionen dieses Betriebssystems verwenden, erweitern Sie das Hauptmenü des Systems und geben Sie nur zwei Buchstaben ein: "ka". Das System zeigt im Hauptmenü alle Programme und Dateien an, die mit dieser Kombination verknüpft sind. In der ersten Zeile wird ein Link "Rechner" angezeigt - klicken Sie darauf mit der Maus und die Anwendung wird gestartet.

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Drücken Sie die Tastenkombination Alt + 2, um eine Schaltfläche in der Anwendungsoberfläche mit der Funktion zum Anheben auf eine beliebige Schaltfläche aufzurufen Klasse. Geben Sie dann die Basis ein - im Beispiel aus dem zweiten Schritt ist diese Zahl 6 - und klicken Sie zuerst auf die Schaltfläche x² und dann auf die Schaltfläche xʸ. Geben Sie den Exponenten ein, für den Sie einen Build erstellen möchten Platz - Im verwendeten Beispiel ist diese Zahl 5. Drücken Sie die Enter-Taste, und der Rechner zeigt das Endergebnis der Operation an.