So finden Sie das Intervall der Konvergenz
So finden Sie das Intervall der Konvergenz
Die Power-Serie ist ein Spezialfall eines funktionalenSerie, deren Begriffe Power-Funktionen sind. Ihre weite Verbreitung beruht auf der Tatsache, dass sie, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, zu vorgegebenen Funktionen konvergieren und das geeignetste analytische Werkzeug für ihre Darstellung sind.
Anleitung
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Die Power-Serie ist ein SonderfallFunktionsreihe. Es hat die Form 0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + ... + cn (z-z0) ^ n + .... (1) Wenn wir die Substitution x = z-z0 machen, dann nimmt diese Reihe die Form c0 + c1x + c2x ^ 2 + ... + cn (x ^ n) + .... (2)
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In diesem Fall sind Reihen der Form (2) bequemer zu betrachten. Es ist offensichtlich, dass jede Potenzreihe für x = 0 konvergiert. Die Menge der Punkte, an denen die Serie konvergiert (Domain Konvergenz) kann auf der Grundlage von Abels Theorem gefunden werden. Daraus folgt, dass wenn die Reihe (2) an einem Punkt x0 ≠ 0 konvergent ist, dann konvergiert sie für alle x, die die Ungleichung | x |
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Entsprechend, wenn irgendwann x1 die Seriedivergiert, dann wird dies für alle x beobachtet, für die | x1 |> | b |. Abbildung 1, wobei x1 und x0 ausgewählt sind größer als Null ist, ermöglicht es uns, dass alle x1> x0 zu verstehen. Wenn sie sich also nähern, wird zwangsläufig die Situation x0 = x1 entstehen. In diesem Fall ist die Konvergenzsituation der Durchgang konfluenten Punkte (sie nennen -R und R) wird schrittweise geändert. Da R geometrisch ist, wird die Zahl R ≥ 0 als Konvergenzradius der Potenzreihe (2) bezeichnet. Intervall (-R, R) heißt das Konvergenzintervall der Potenzreihe. Es ist möglich und R = + ∞. Für x = ± R wird die Reihe numerisch und ihre Analyse wird auf der Grundlage von Informationen über numerische Reihen durchgeführt.
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Um R zu bestimmen, wird die Serie auf absoluteKonvergenz. Das heißt, eine Reihe von Absolutwerten der Terme der ursprünglichen Reihe wird kompiliert. Studien können auf der Grundlage der Zeichen von d'Alembert und Cauchy durchgeführt werden. Bei der Anwendung werden Grenzen gefunden, die mit Eins verglichen werden. Daher wird die Grenze gleich eins bei x = R erreicht. Beim Lösen auf der Grundlage von d'Alembert wird der in Abb. 2a. Die positive Zahl x, bei der diese Grenze gleich Eins ist, ist der Radius R (siehe Fig. 2b). Bei der Untersuchung der Reihe nach dem radikalen Cauchy-Kriterium nimmt die Formel zur Berechnung von R die Form an (siehe Fig. 2c).
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Die Formeln in Abb. 2 angewendet werden, sofern die betreffenden Grenzen bestehen. Für die Potenzreihe (1) wird das Konvergenzintervall in der Form (z0-R, z0 + R) geschrieben.
